Xavier Cabré Vilagut
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Xavier Cabré se formó como investigador en el área de las Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDPs) bajo la supervisión de Louis Nirenberg, su director de tesis. Leída en 1994, con el título Estimates for Solutions of Elliptic and Parabolic Equations, su objeto era la obtención de cotas para el supremo de las soluciones de EDPs elípticas y parabólicas de segundo orden, en dominios no necesariamente acotados. Entre los resultados de la tesis destacan importantes mejoras de diversas estimaciones, como por ejemplo (Teorema 2.6) la de Alexandroff-Bakelman-Pucci o (Teorema 5.5) la de ABP-Krylov-Tso (v. Tso-1985). Posteriormente estableció la desigualdad de Harnack de tipo Krylov-Safonov para procesos de difusión en variedades Riemannianas introduciendo una nueva técnica usada ampliamente desde entonces en el estudio del transporte óptimo de masas en variedades Riemannianas.
La colaboración de Luis Caffarelli con Cabré empezó antes de que éste terminara su tesis. De ella resultaron varios trabajos en ecuaciones elípticas completamente no lineales, icluyendo la memoria Caffarelli-Cabré-1995, una referencia ya clásica en este campo. Caffarelli-Cabré-2003 contiene otro resultado importante de su colaboración sobre ecuaciones no convexas.
De su etapa post-doctoral en el Laboratoire Jacques-Louis Lions destaca su iniciación en el estudio de diversos aspectos de las ecuaciones de reacción-difusión (temas de existencia, explosión y simetría, por ejemplo). El trabajo Brezis-Cabré-1998 ha tenido una influencia importante en este campo. Durante esta etapa Cabré se inició en un tema potenciado por Haim Brezis: el problema de la regularidad de soluciones estables de ecuaciones semilineales. Se trata de demostrar la regularidad de toda solución estable hasta dimensión 9, siendo Cabré-2010 el mejor resultado por el momento, que lo resuelve hasta dimensión 4. Fue también en Paris 6 donde Cabré descubrió una nueva demostración de la desigualdad clásica isoperimétrica en el espacio euclídeo (v. Cabré-2000 y Cabré-2008). Esta demostración, basada en la EDP clásica de Poisson, es de una simplicidad comparable a la demostración de M. Gromov, y sugiere la posibilidad de aplicarla a otras situaciones menos clásicas. Un ejemplo reciente son las nuevas desigualdades isoperimétricas con pesos (v. Cabré-RosOton-Serra-2013) surgidas en las indagaciones sobre soluciones estables de problemas de reacción-difusión.
También fue muy celebrada su solución de la conjectura de De Giorgi en dimensión tres sobre transiciones de fase y superficies mínimas (v. Ambrosio-Cabré-2000). Formulada en 1978, no se había producido ningún avance sustancial hasta 1998, y recientemente, en lo que son los trabajos más celebrados en ecuaciones semilineales de los últimos años, ha sido resuelta casi completamente en todas las dimensiones (v. Savin-2009 y DelPino-Kowalczyk-Wei-2009).
Señalemos también las investigaciones de Cabré en el campo de las variedades invariantes de sistemas dinámicos. Su serie de tres trabajos Cabré-Fontich-de la Llave-2003a, Cabré-Fontich-de la Llave-2003b y Cabré-Fontich-de la Llave-2004 han tenido considerable repercusión.
En los últimos años, y siguiendo una reciente línea muy activa a nivel mundial, Cabré ha realizado contribuciones en el campo de las difusiones fraccionarias y los operadores integro-diferenciales asociados a procesos de salto o de Lévy. Las aplicaciones de esta línea en Física, Nanotecnología, Biología y Finanzas son enormes y de gran actualidad. En el trabajo Cabré-Roquejoffre-2013, por ejemplo, se establece matemáticamente un hecho predicho por físicos años antes: la invasión exponencialmente rápida de los frentes KPP bajo difusión fraccionaria (v. Kolmogorov-Petrovsky-Piskounov equation en Reaction-diffusion equations). Destaquemos aquí también los importantes resultados obtenidos por dos recientes estudiantes de Cabré, Xavier Ros-Oton y Joaquim Serra, como por ejemplo RosOton-Serra-2012, en el que establecen la identidad de Pohozaev para el laplaciano fraccionario.
Preprints recientes: arXiv-Cabré.