Antonio J. Durán Guardeño
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En la etapa inicial de su carrera se centró en desarrollos de Fourier-Laguerre en espacios de distribuciones. Partiendo de los espacios de Gelfand-Shilov para la transformada de Fourier, y los desarrollos de Hermite asociados, Durán introduce espacios adecuados en los que estudia la transformada de Hankel y los desarrollos asociados de Laguerre.
Sus estudios sobre el problema de momentos le llevaron a encontrar la primera función peso con soporte en el eje real para los polinomios de Bessel, problema abierto desde que estos polinomios fueran introducidos por Krall y Frink en 1949. En 1992 inició una larga y fructífera colaboración con Christian Berg (Universidad de Copenhague), el más importante experto mundial en problemas de momentos. En ella han estudiado cuándo una perturbación diferencial discreta de polinomios ortogonales es de cuadrado sumable, completando el estudio iniciado por M. Riesz y R. Nevalinna que se remonta a la década de los 20 del siglo XX. Además de iniciar un nuevo y prometedor campo de estudio sobre transformaciones no lineales entre sucesiones de momentos.
En polinomios ortogonales ha hecho contribuciones decisivas para la extensión de la teoría a valores matriciales. Por un lado ha desarrollado un estudio sistemático de aspectos teóricos que abarcan propiedades de los ceros, fórmulas de cuadratura gaussianas, problemas de momentos y propiedades asintóticas (colaborando con prestigiosos investigadores como Mourad E. H. Ismail (Central Florida University), Edward Saff (Vanderbilt University) o Walter van Assche (Universidad de Lovaina). Por otro, ha contribuido a la construcción de los primeros ejemplos de polinomios matriciales ortogonales que son autofunciones de operadores diferenciales (o en diferencias) de segundo orden. Estas familias vendrán a jugar en la ortogonalidad matricial el papel fundamental que los polinomios de Jacobi, Laguerre o Hermite juegan en la escalar (con previsibles aplicaciones en la futura tecnología de resonancia magnética tensorial para diagnóstico médico). Parte de esto último, ha sido logrado en una también larga y fructífera colaboración con el profesor Alberto Grünbaum (Universidad de Berkeley), uno de los mayores expertos mundiales en biespectralidad.
En los últimos años ha trabajado sobre problemas biespectrales, introduciendo un nuevo y potente método que permite resolver este tipo de problemas tanto para operadores diferenciales, en diferencias o en q-diferencias. En este sentido ha construido las primeras familias de polinomios ortogonales que son autofunciones de operadores en diferencias de orden superior. Este problema estaba implícitamente abierto desde 1941 y, explícitamente, desde que Richard Askey lo propusiera en 1991 como uno de los más importantes sobre polinomios ortogonales.
Hay que destacar también la faceta de Antonio J. Durán como historiador y
divulgador de la ciencia en general, y de las matemáticas en particular. En
este sentido, ha publicado más de una docena de textos (ensayo, historia y
divulgación), ha editado, prologado y anotado la versión castellana de varias
obras maestras de las matemáticas de todos los tiempos, como la
Introducción al análisis de los infinitos
de
Leonhard Euler (1748), el
Análisis de cantidades mediante series, fluxiones y diferencias
de
Isaac Newton (1711) y
obras escogidas de
Arquímedes
(la primera versión castellana en las dos
primeras). En esta faceta también se incluye una amplia actividad cultural
relacionada con la ciencia y las matemáticas, donde ha sido comisario de dos
importantes exposiciones de obras maestras de las matemáticas. La primera en la
navidad del 2000 en el Salón de Tapices de los
Reales Alcázares
de Sevilla, bajo
el título de
El legado de las matemáticas: de Euclides a Newton, los genios a
través de sus libros, y el patrocinio de la
Consejería de Cultura
de la Junta de Andalucía, la
Real Sociedad Matemática Española, la
Sociedad Thales y la
Universidad de Sevilla
(la exposición tuvo del orden de 50.000 visitantes en poco más de tres
semanas). La segunda se celebró en la
Biblioteca Nacional en Madrid de junio a
septiembre de 2006 (coincidiendo con la celebración en Madrid, por primera vez
en la historia, del
International Congress of Mathematicians) bajo el título
Vida de los números, y el amparo del Ministerio de Cultura.