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Matemáticas, Ciencia y Tecnología

Xavier Gómez-Mont


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Trayectoria académica


Perfil investigador

Motivado por los avances en teoría de foliaciones de principios de los setenta, y en particular por el celebrado artículo panorámico Foliations de H. Lawson, los primeros pasos de Xavier Gómez Mont como investigador se orientaron al estudio de las foliaciones holomorfas. Uno de sus primeros resultados fue mostrar que estas estructuras tienen dos componentes: una estructura tangente a lo largo de las hojas y otra transversal. Después, utilizando esta estructura transversal, demostró que dichas foliaciones solo poseen un número finito de componentes dinámicas (GómezMont-1980). Este resultado es una extensión del teorema de finitud de L. Ahlfors para grupos Kleinianos y tiene estrecha relación con el teorema de no existencia de dominios errantes de D. Sullivan (Sullivan-1985) para la dinámica de funciones racionales en una variable compleja.

Su siguiente objetivo fue extender estos resultados a las foliaciones holomorfas con singularidades utilizando las técnicas de Geometría Algebraica contemporáneas introducidas por A. Grothendieck. A tal fin, destaca su introducción de una sucesión exacta de complejos de haces cuya hipercohomología calcula las deformaciones infinitesimales de una tal foliación y proporciona la descomposición en componentes tangenciales y transversales. Después, utilizando resultados de J.-P. Serre sobre cohomología de fibrados de línea (FAC, o su versión inglesa, Sección 3), obtiene una propiedad de rigidez, de naturaleza topológica, para foliaciones por curvas (GómezMont-1988), así como la extensión de su teorema de finitud a foliaciones con singularidades (Ghys-Saludes-GómezMont-2001 (L’Enseignement Mathématique 38, 287-319)). En la línea de investigación abierta conjuntamente con G. Kempf (GómezMont-Kempf-1989), consiguen derterminar, a partir de sus singularidades y mediante cálculos explícitos de un complejo de Koszul, una foliación por curvas genéricas en espacios proyectivos en términos de su conjunto singular. También demuestran la estabilidad de los puntos singulares de foliaciones por curvas en espacios proyectivos mediante la teoría geométrica de invariantes de D. Mumford.

Posteriormente, se interesó por el estudio local de una singularidad. En particular demostró, junto con I. Luengo, que no existen separatrices para campos de vectores holomorfos en más de 3 variables (GómezMont-Luengo-1992), resolviendo así negativamente la extensión del teorema en dos variables debido a C. Camacho y P. Sad (Camacho-Sad-1982).

La noción del índice de un campo de vectores en una hipersuperficie con una singularidad aislada fue introducida conjuntamente con A. Verjovsky y J. Seade (GómezMont-Seade-Verjovsky-1991). Posteriormente definió diversos complejos homológicos que permiten ahondar en las propiedades y expresiones algebraicas de estos índices. Más concretamente, en GómezMont-1998 lo desarrolla para hipersuperficies y en Bothmer-Ebeling-GómezMont-2007 para intersecciones completas. También obtiene expresiones explicitas para el cálculo de estos índices programables (por ejemplo en Singular). Conjuntamente con Luis Giraldo y P. Mardesic (Giraldo-GómezMont-Mardesic-2008), muestran como se pueden refinar estos cálculos para cubrir el caso real utilizando teoría de formas bilineales. Observando detalladamente estas últimas fórmulas, ha propuesto ideas sobre la estratificación de ciclos evanescentes próximos a las singularidades en términos de su rapidez de anulación, así como métodos de cálculo efectivo.

Colaboradores


Tesis doctorales dirigidas


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ArbolMat

12.9.2013